Formule de la pente : tangente et arctangente

La formule

Une pente en pourcentage est le rapport de la hauteur à la longueur au sol, multiplié par 100 :

Pente en % = hauteur ÷ longueur au sol × 100

Dans le triangle formé par la pente, ce rapport est la tangente de l'angle avec l'horizontale. D'où les deux formules de conversion :

• pente en % = tan(angle) × 100 ;
• angle = arctan(pente en % ÷ 100).

Ainsi, tan(45°) vaut 1, et 45° font 100 %. Le convertisseur applique ces formules à toutes les unités.

Des degrés au pourcentage

1. Prenez la tangente de l'angle, calculatrice en mode degrés.
2. Multipliez par 100.

Pour 30° : tan(30°) = 0,577, soit 57,74 %. Pour 12° : tan(12°) × 100 = 21,26 %. Toutes les valeurs de 0 à 89° sont dans le tableau degrés en pourcentage.

Du pourcentage aux degrés

1. Divisez le pourcentage par 100.
2. Prenez l'arctangente du résultat, calculatrice en mode degrés.

L'arctangente s'écrit arctan, atan ou tan⁻¹ ; sur beaucoup de calculatrices, elle s'obtient par la touche de seconde fonction suivie de tan. Pour 10 % : arctan(0,1) = 5,71°. Pour 25 % : arctan(0,25) = 14,04°. Le tableau complet est sur la page pourcentage en degrés.

Calculatrice : mode degrés ou radians

Une calculatrice scientifique mesure les angles en degrés (DEG), en radians (RAD) ou en grades (GRAD). Le mode actif s'affiche à l'écran, souvent par une lettre D, R ou G.

Si vous devez rester en radians, convertissez d'abord l'angle : radians = degrés × π ÷ 180. 30° font 0,5236 rad, et tan(0,5236) donne bien 0,577. Dans l'autre sens, l'arctangente donne alors un résultat en radians : arctan(0,1) = 0,0997 rad, à multiplier par 180 ÷ π pour retrouver 5,71°.

Dans un tableur

Les fonctions trigonométriques des tableurs travaillent toujours en radians. Il faut donc convertir l'angle avant la tangente, et le résultat après l'arctangente. Dans Excel et LibreOffice Calc en français :

• des degrés au pourcentage : =TAN(RADIANS(30))*100 donne 57,74 ;
• du pourcentage aux degrés : =DEGRES(ATAN(10/100)) donne 5,71 ;
• depuis deux mesures, hauteur en B2 et longueur au sol en C2 : =B2/C2*100 pour le pourcentage, =DEGRES(ATAN(B2/C2)) pour l'angle.

Dans un tableur en anglais, DEGRES s'écrit DEGREES ; TAN, ATAN et RADIANS ne changent pas.

Calculer une pente depuis deux mesures

Mesurez la hauteur gagnée et la longueur au sol, à l'horizontale, dans la même unité.

Exemple : un terrain monte de 1,2 m sur 8 m au sol. Pente = 1,2 ÷ 8 × 100 = 15 %. Angle = arctan(0,15) = 8,53°.

Le résultat ne dépend pas de l'unité, pourvu que les deux mesures soient dans la même : 120 cm sur 800 cm donnent aussi 15 %. Une hauteur en centimètres sur une longueur en mètres donne directement des centimètres par mètre, c'est-à-dire le pourcentage.

Mesure le long de la pente : sinus, pas tangente

Souvent, on ne peut mesurer que la longueur le long de la pente, par exemple avec un mètre posé sur le sol incliné. Diviser la hauteur par cette longueur ne donne pas la tangente, mais le sinus de l'angle.

Exemple : une pente de 5 m de long monte de 3 m. La longueur au sol vaut √(5² − 3²) = 4 m.

L'angle vaut arcsin(3 ÷ 5) = arctan(3 ÷ 4) = 36,87°. L'erreur aurait donné 60 %, soit 30,96°.

Sur une pente douce, l'écart est faible. Avec 1,2 m de hauteur pour 8 m mesurés le long de la pente, la longueur au sol vaut √(8² − 1,2²) ≈ 7,91 m, et la pente 15,17 % au lieu de 15 %. Plus la pente est raide, plus l'erreur grandit.

Les autres écritures

À partir du pourcentage, les autres unités se calculent simplement :

• rapport 1 pour n : n = 100 ÷ pourcentage (10 % font 1 pour 10) ;
• pour mille : pourcentage × 10 (10 % font 100 ‰) ;
• grades : degrés ÷ 0,9 (45° font 50 grades) ;
• radians : degrés × π ÷ 180.

Chaque unité est détaillée sur la page unités de pente.